No campo de futebol, dentro da grande área, há uma marca a 11 metros do
ponto médio da linha do gol, para que seja feita a cobrança de uma falta
chamada "pênalti". O goleiro fica sobre essa linha, entre duas traves
que são paralelas, com uma distância entre elas de 7,32 metros, e sob uma
terceira trave, cuja borda fica a 2,44 metros do solo.
Com essas informações, para realizar uma análise geométrica utilizaremos a cor azul para as traves verticais, a cor laranja para a trave que fica sobre a cabeça do goleiro e a cor vermelha para representar a distância de 11 metros da marca do pênalti até a linha do gol:
Com essas informações, para realizar uma análise geométrica utilizaremos a cor azul para as traves verticais, a cor laranja para a trave que fica sobre a cabeça do goleiro e a cor vermelha para representar a distância de 11 metros da marca do pênalti até a linha do gol:
A cobrança usual do pênalti é feita por meio de um tiro direto, e uma
das consequências é que a trajetória da bola, em função da distância e da
velocidade, pode ser considerada, em grande parte das experiências, uma linha
reta. Assim, faremos a visualização da vista lateral desses chutes, pontilhando
as trajetórias das bolas em direção ao gol:
No esquema dessa vista lateral, identificamos vários triângulos
retângulos, nos quais a linha vermelha e a trave azul são os catetos, enquanto
que a linha pontilhada é a hipotenusa. Das três medidas, somente o cateto de
cor vermelha é constante, com valor igual a 11 metros, enquanto que as outras
duas mudam de valor conforme o ângulo formado entre a linha pontilhada e a
linha vermelha.
Para organizar o nosso estudo, representaremos esse ângulo pela letra G; a medida da altura que a bola passa pela trave por y (cor azul); e o comprimento da linha pontilhada por x:
As relações matemáticas entre essas medidas, sejam elas constantes ou
variáveis, podem ser exploradas a partir das definições do cosseno, do seno e
da tangente, tendo como referência o ângulo G. No entanto, se quisermos
descobrir o valor aproximado de G, para que a bola passe rente à parte inferior
da trave que se encontra sobre a cabeça do goleiro, perceberemos que, para essa
situação limite, a tangente será o melhor recurso, pois evita o cálculo da
hipotenusa:
Com a informação de que o valor máximo de y é 2,44 metros, calculamos o
valor da tangente de G e, logo depois, o valor aproximado de G (por meio de uma
tabela):
Concluímos que o ângulo G deverá
estar no intervalo de 0o (bola
rasteira) chegando ao valor máximo aproximado de 13o no
plano vertical da vista lateral. Os valores possíveis desses ângulos são
interpretados também como as linhas de latitude da bola em direção ao gol.
Podemos indicar alguns desses valores no nosso desenho, por meio de linhas
também pontilhadas:
Vamos agora analisar essa cobrança de
pênalti vista de cima. Dessa posição vemos a trave cor laranja, que fica sobre
a cabeça do goleiro, e a linha vermelha, que representa a distância da marca do
pênalti até o gol. Novamente identificamos vários triângulos retângulos, só
que, dessa vez, em um plano horizontal, e em regiões simétricas, tendo a linha
vermelha como eixo.
Para esta nova posição, definiremos como K o ângulo formado entre a linha pontilhada da trajetória da bola e a linha vermelha. Assim, podemos escrever a tangente desse ângulo, não esquecendo que deveremos explorar tanto do lado esquerdo como do lado direito do jogador que está cobrando o pênalti.
Qual será o valor aproximado do ângulo K para o jogador marcar um belo gol rente à trave direita do goleiro? O primeiro passo é interpretar o valor máximo do cateto oposto a K, que, nessa condição também limite, será a metade do tamanho da trave laranja:
7,32 : 2 = 3,66 m
O valor da tangente de K que será a razão do cateto adjacente, igual a 11 metros, pelo valor máximo do cateto oposto, que, como vimos, é igual a 3,66 m. Com mesmo procedimento anterior, calculamos o valor da tg K e, por meio de uma tabela, achamos o valor aproximado de K:
Assim, esse ângulo K poderá ser
explorado tanto do lado esquerdo como do lado direito de quem está cobrando o
pênalti, no intervalo de 0o a 19o. Essas medidas também são interpretadas como
longitude da bola ao ser chutada a gol. Novamente indicaremos parte desses
valores por meio de linhas pontilhadas:
Com lápis e papel, agora você pode
explorar os conceitos de latitude e longitude, para se divertir com as
possíveis posições da bola colocada pelo cobrador do pênalti. Será que em uma
latitude de 10o e longitude 17o à direita, o goleiro defende?
·
Link da matéria no UOL: http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/futebol-e-matematica-a-geometria-do-penalti.htm
Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3
Pedagogia & Comunicação professor de matemática no ensino fundamental e
superior, é mestre em educação pela USP e autor do livro "Geometria e
Estética: experiências com o jogo de xadrez" pela Editora da UNESP.
Nenhum comentário:
Postar um comentário